논리회로설계 02 - Number Systems

 

개요

 

디지털 시스템은 모든 데이터를 0과 1로 표현합니다. 그렇다면 우리가 평소 쓰는 숫자를 어떻게 0과 1로 바꾸고, 그것들을 회로에서 어떻게 더하고 뺄까요? 이 글은 그 질문에 답합니다.

크게 두 가지 주제를 다룹니다. 첫 번째는 수 체계(Number Systems)로, 2진수·16진수의 개념과 변환, 부호 있는 수의 표현 방식을 설명합니다. 두 번째는 기본 논리 함수(Basic Logic Functions)로, AND·OR·NOT 게이트가 스위치 회로에서 어떻게 출발했는지, 진리표와 논리 회로는 어떻게 이어지는지를 다룹니다.

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1. 수 체계 (Number Systems)

10진수와 2진수의 구조

10진수는 각 자리가 10의 거듭제곱을 나타냅니다. 예를 들어 5374는 아래와 같이 분해됩니다.

5374₁₀ = 5 × 10³ + 3 × 10² + 7 × 10¹ + 4 × 10⁰

2진수도 같은 원리입니다. 각 자리가 2의 거듭제곱을 나타내며, 값은 0 또는 1만 가질 수 있습니다.

1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
       = 8 + 4 + 0 + 1
       = 13₁₀

2의 거듭제곱 — 암기 목록

2진수를 빠르게 다루려면 2의 거듭제곱값을 익혀두는 것이 좋습니다. 최소 2⁹까지는 외워두면 계산이 훨씬 편합니다.

거듭제곱	값	거듭제곱	값
2⁰	1	2⁵	32
2¹	2	2⁶	64
2²	4	2⁷	128
2³	8	2⁸	256
2⁴	16	2⁹	512

큰 단위도 기억해 두면 유용합니다. 2¹⁰ = 1,024로 약 1킬로(kilo), 2²⁰은 약 1메가(mega), 2³⁰은 약 1기가(giga)에 해당합니다. 예를 들어 2²⁴의 값을 추정할 때는 2⁴ × 2²⁰ = 16 × 1M = 약 1600만으로 계산할 수 있습니다.

2진수 변환 방법

2진수 → 10진수: 각 자리의 값(2의 거듭제곱)에 해당 비트를 곱해 모두 더합니다.

10011₂ → 16×1 + 8×0 + 4×0 + 2×1 + 1×1 = 19₁₀

10진수 → 2진수: 숫자보다 작거나 같은 2의 거듭제곱 중 가장 큰 것부터 차례로 빼나가며 비트를 결정합니다.

47₁₀ → 32×1 + 16×0 + 8×1 + 4×1 + 2×1 + 1×1 = 101111₂

 

 

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2. 16진수 (Hexadecimal)

16진수는 0~9와 A~F를 사용하며, 한 자리가 4개의 2진수 비트에 정확히 대응합니다. 그래서 긴 2진수를 짧고 읽기 쉽게 표현할 때 자주 씁니다. 코드에서는 주로 0x 접두어로 표기합니다.

16진수	10진수	2진수	16진수	10진수	2진수
0	0	0000	8	8	1000
1	1	0001	9	9	1001
2	2	0010	A	10	1010
3	3	0011	B	11	1011
4	4	0100	C	12	1100
5	5	0101	D	13	1101
6	6	0110	E	14	1110
7	7	0111	F	15	1111

16진수 → 2진수 변환은 각 자리를 4비트로 바꾸면 됩니다. 예를 들어 0x4AF는 다음과 같습니다.

4    →  0100
A(10) → 1010
F(15) → 1111

0x4AF = 0100 1010 1111₂

16진수 → 10진수는 각 자리에 16의 거듭제곱을 곱해 더합니다.

0x4AF = 4 × 16² + 10 × 16¹ + 15 × 16⁰
       = 1024 + 160 + 15
       = 1199₁₀

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3. 2진수 덧셈과 오버플로

2진수 덧셈

2진수 덧셈은 10진수 덧셈과 원리가 같습니다. 한 자리의 합이 1을 넘으면 올림(carry)이 발생합니다.

 

오버플로 (Overflow)

디지털 시스템은 정해진 비트 수(고정 폭)만 사용합니다. 연산 결과가 그 폭을 초과하면 오버플로(Overflow)가 발생합니다. 위 예에서 4비트 시스템에서 11 + 6 = 17을 계산하면 결과가 5비트가 필요해 4비트 안에 담을 수 없습니다. 실제 프로그램에서 정수 오버플로 버그가 생기는 이유가 바로 이것입니다.

 

 

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4. 부호 있는 수의 표현

10진수에서 음수는 그냥 앞에 '-'를 붙이면 됩니다. 2진수에서는 어떻게 할까요? 세 가지 방식이 있습니다.

부호-크기 표현 (Sign and Magnitude)

가장 왼쪽 비트(MSB)를 부호 비트로 사용합니다. 0이면 양수, 1이면 음수이고 나머지 비트가 크기(magnitude)를 나타냅니다.

0101₂ = +5₁₀
1101₂ = -5₁₀

사람이 이해하기에는 직관적이지만, 컴퓨터 회로 구현에는 적합하지 않습니다. 부호가 다른 두 수를 더하려면 크기를 비교하고 빼는 별도의 회로(Subtractor, Comparator)가 필요하기 때문입니다.

 

 

1의 보수 (1's Complement)

양수 P에 해당하는 음수 K는 K = (2ⁿ - 1) - P로 구합니다. 실질적으로는 모든 비트를 반전(0→1, 1→0)하는 것과 같습니다.

+5 = 0101₂
-5 = 1010₂  (모든 비트 반전)

+3 = 0011₂
-3 = 1100₂  (모든 비트 반전)

덧셈 시 부호 비트에서 올림(carry)이 발생하면 결과의 LSB에 1을 더해야 하는 번거로움이 있습니다. 그래서 실제로는 거의 사용하지 않습니다.

 

2의 보수 (2's Complement) — 실제 컴퓨터가 사용하는 방식

 

양수 P에 해당하는 음수 K는 K = 2ⁿ - P로 구합니다. 핵심 특성은 어떤 수와 그 2의 보수를 더하면 올림을 무시할 때 0이 된다는 점입니다.

+5 = 0101₂
-5 = 1011₂  (2의 보수)
     → 0101 + 1011 = 10000, 올림 무시 → 0000 (0)

변환 단축법: 오른쪽(LSB)부터 읽어 처음 나오는 1까지는 그대로 복사하고, 그 이후 비트는 모두 반전합니다.

+6  = 0110₂
      오른쪽부터: 0 복사 → 처음 1 복사 → 나머지 반전
-6  = 1010₂

2의 보수 방식의 최대 장점은 덧셈 회로만으로 뺄셈을 처리할 수 있다는 것입니다. A - B = A + (-B)이고, -B는 B의 2의 보수이므로, 뺄셈을 그냥 덧셈으로 바꿔 계산합니다. 부호 비트에서 올림이 나오면 그냥 버립니다.

 

 

세 방식 비교 (4비트 기준)

비트 패턴	부호-크기	1의 보수	2의 보수
0111	+7	+7	+7
0000	+0	+0	0
1000	-0	-7	-8
1111	-7	-0	-1

부호-크기와 1의 보수는 0이 두 개(+0, -0) 존재하는 문제가 있습니다. 2의 보수는 0이 하나뿐이고, n비트로 -2^(n-1) ~ +2^(n-1)-1 범위를 빠짐없이 표현합니다. 현대 컴퓨터가 2의 보수를 채택한 이유입니다.

핵심 정리: 2의 보수는 덧셈 회로 하나만으로 뺄셈까지 처리할 수 있어 회로 구현이 가장 단순합니다. 실제 CPU가 정수를 저장하는 방식입니다.

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5. 기본 논리 함수 (Basic Logic Functions)

스위치에서 게이트로

논리 함수는 스위치 회로에서 출발합니다. 스위치가 열리면 0, 닫히면 1입니다. 전구가 켜지는 조건을 수식으로 쓴 것이 논리 함수입니다.

• 직렬 연결 (AND): 두 스위치가 모두 닫혀야 전구가 켜집니다. → L(x1, x2) = x1 · x2
• 병렬 연결 (OR): 둘 중 하나라도 닫히면 전구가 켜집니다. → L(x1, x2) = x1 + x2
• 반전 (NOT): 스위치가 열릴 때 전구가 켜집니다. → L(x) = x'

AND·OR·NOT 세 가지를 조합하면 어떤 복잡한 논리 함수도 만들 수 있습니다. 예를 들어 세 스위치 회로에서 x1, x2가 병렬이고 그 결과가 x3과 직렬이면 아래와 같습니다.

L(x1, x2, x3) = (x1 + x2) · x3

진리표 (Truth Table)

진리표는 모든 입력 조합에 대해 출력값을 나열한 표입니다. n개의 입력이 있으면 행이 2ⁿ개 필요합니다. 아래는 AND와 OR의 진리표입니다.

x1	x2	x1 · x2 (AND)	x1 + x2 (OR)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

진리표는 유일하고 직관적이지만, 입력이 늘어날수록 행이 기하급수적으로 늘어납니다(5입력이면 32행). 그래서 논리식이나 회로 도면과 함께 사용합니다.

 

 

단항연산자(Inversion)

 

위  논리회로를 설명하기 위한 논리식 -

L(x) = ~x - 함수는 다음과 같습니다
• L = 1, if x = 0
• L = 0, if x = 1

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6. 논리 게이트와 회로 분석 및 합성

논리 게이트

 

AND·OR·NOT 연산은 트랜지스터로 구현한 논리 게이트(logic gate)로 실체화됩니다. 각 게이트는 하나 이상의 입력을 받아 하나의 출력을 냅니다. 게이트를 여러 개 연결하면 복잡한 논리 회로를 만들 수 있습니다.

 

 

분석 (Analysis) — 회로 → 논리식

주어진 논리 회로에서 출력 함수를 도출하는 과정입니다. 출력에서 입력 방향으로 거슬러 올라가며 각 게이트의 출력을 차례로 수식으로 바꿉니다.

같은 진리표를 갖는 서로 다른 회로를 기능적으로 동등(functionally equivalent)하다고 합니다. 설계자는 동등한 회로 중 가장 단순한 것을 선택해 비용을 낮춥니다.

 

 

합성 (Synthesis) — 논리식 → 회로

주어진 논리식을 게이트 회로로 구현하는 과정입니다. 연산 우선순위(괄호 → NOT → AND → OR)에 따라 단계적으로 게이트를 배치합니다.

f = x1' + (x1 · x2)
  1단계: x1에 NOT 게이트 → x1'
  2단계: x1, x2에 AND 게이트 → x1 · x2
  3단계: x1', (x1 · x2)에 OR 게이트 → f

 

타이밍 다이어그램 (Timing Diagram)

논리 회로의 동작을 시간 축 위에 파형으로 나타낸 것입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 시간이 흐르고, 각 신호의 0/1 상태 변화가 표시됩니다. 시뮬레이션 도구에서 회로 검증에 널리 사용됩니다.

 

 

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핵심 요약

주제	핵심 내용
2진수 변환	각 자리 = 2의 거듭제곱. 10진수 ↔ 2진수, 16진수 ↔ 2진수 변환 가능
오버플로	결과가 고정 비트 수를 초과할 때 발생
부호 표현 3종	부호-크기(직관적), 1의 보수(비트 반전), 2의 보수(실제 CPU 사용)
2의 보수 장점	덧셈 회로만으로 뺄셈 처리. A - B = A + (-B)
논리 게이트	AND(·), OR(+), NOT(') — 스위치 회로에서 출발, 트랜지스터로 구현
분석 vs 합성	분석: 회로 → 논리식 / 합성: 논리식 → 회로

Digital Logic Design — Yongsoo Joo (Kookmin Univ. KESL) | Lecture 3 정리